Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知M（-1，1），N（0，2），Q（2，0）．
（1）求過M，N，Q三點(diǎn)的圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）圓C₁關(guān)于直線MN的對(duì)稱圓為C₂，求圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）求出線段MN、NQ垂直平分線方程，可得圓心坐標(biāo)、半徑，即可求過M，N，Q三點(diǎn)的圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）圓C₁關(guān)于直線MN的對(duì)稱圓為C₂，求出${C_2}（-\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$，即可求圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為$（-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$，其垂直平分線的斜率為k=-1，
故線段MN垂直平分線方程為$y-\frac{3}{2}=-（x+\frac{1}{2}）$，即x+y-1=0．
同理可得線段NQ的垂直平分線方程為x-y=0，
聯(lián)立得圓心坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），圓的半徑為$r=\sqrt{{{（2-\frac{1}{2}）}^2}+{{（0-\frac{1}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．
∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}=\frac{5}{2}$．
（2）直線MN的方程為x-y+2=0，由（1）知點(diǎn)${C_1}（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，設(shè)點(diǎn)C₂（a，b），
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{{b-\frac{1}{2}}}{{a-\frac{1}{2}}}=-1\\ \frac{{a+\frac{1}{2}}}{2}-\frac{{b+\frac{1}{2}}}{2}+2=0\end{array}\right.$，解得${C_2}（-\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$．∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為${（x+\frac{3}{2}）^2}+{（y-\frac{5}{2}）^2}=\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定圓心坐標(biāo)與半徑是關(guān)鍵．