Question

若函數(shù)y=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為7，則a=

2或

1

2

．

Answer 1

分析：由已知中函數(shù)y=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）在區(qū)間[-1，1]上的最大值是7，我們利用換元法，及二次函數(shù)的性質(zhì)，我們易構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程即可得到答案．

解答：解：令t=a^x，則t＞0，則y=a^2x+2a^x-1=t²+2t-1=（t+1）² -2 （t＞0）．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，∵x∈[-1，1]，∴a≤t≤

1

a

，此時(shí)f（t）在[a，

1

a

]上單調(diào)遞增，
則y_max=f（

1

a

）=

1

a2

+

2

a

-1=7，解得：

1

a

=2，或

1

a

=-4（舍）∴a=

1

2

．
當(dāng)a＞1時(shí)，∵x∈[-1，1]，∴

1

a

≤t≤a，此時(shí)f（t）在[

1

a

，a]上單調(diào)遞增，
則y_max=f（a）=a²+2a-1=7，解得：a=2，或a=-4（舍），∴a=2．
綜上：a=

1

2

，或a=2，
故答案為

1

2

或 2．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，指數(shù)函數(shù)的值域，二次函數(shù)的單調(diào)性，其中利用換元法將已知中的函數(shù)化為二次函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．