Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=0，n∈N^*．求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 由$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=0，n∈N^*．化為${a}_{n+1}={a}_{n}^{2}$，兩邊取對數(shù)可得：lga_n+1=2lga_n，再利用等比數(shù)列的通項公式、對數(shù)的運算性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=0，n∈N^*．
化為${a}_{n+1}={a}_{n}^{2}$，
兩邊取對數(shù)可得：lga_n+1=2lga_n，
∴數(shù)列{lga_n}是等比數(shù)列，首項為$lg\frac{1}{2}$，即-lg2，公比為2．
∴l(xiāng)ga_n=（-lg2）×2^n-1，
∴a_n=${2}^{-{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{{2}^{n-1}}}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項公式、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．