Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）x﹣y+1＝0．（Ⅱ）當(dāng)a＝0時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是．當(dāng)a≥1時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，+∞），無減區(qū)間．當(dāng)﹣1＜a＜0時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間．當(dāng)a≤﹣1時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，+∞），無增區(qū)間．

【解析】

（I）先求導(dǎo)數(shù)f'（x），利用導(dǎo)數(shù)求出在x＝0處的導(dǎo)函數(shù)值，即為切線的斜率，則可得出切線方程．

（II）對(duì)字母a進(jìn)行分類討論，再令f'（x）大于0，解不等式，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

因?yàn)?/span>，所以．

（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，，，

所以f（0）＝1，f'（0）＝1．

所以曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為x﹣y+1＝0．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，

（1）當(dāng)a＝0時(shí)，由f'（x）＞0得x＜0；由f'（x）＜0得x＞0．

所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞減．

（2）當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)g（x）＝ax2﹣2x+a，方程g（x）＝ax2﹣2x+a＝0的判別式△＝4﹣4a2＝4（1﹣a）（1+a），

①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，此時(shí)△＞0．

由f'（x）＞0得，或；

由f'（x）＜0得．

所以函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是和，

單調(diào)遞減區(qū)間．

②當(dāng)a≥1時(shí)，此時(shí)△≤0．所以f'（x）≥0，

所以函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，+∞）．

③當(dāng)﹣1＜a＜0時(shí)，此時(shí)△＞0．

由f'（x）＞0得；

由f'（x）＜0得，或．

所以當(dāng)﹣1＜a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是和，

單調(diào)遞增區(qū)間．

④當(dāng)a≤﹣1時(shí)，此時(shí)△≤0，f'（x）≤0，所以函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，+∞）．