Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-2x+a（e^x-1+e^-x+1）有唯一零點，則a=（　�。�

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 通過轉(zhuǎn)化可知問題等價于函數(shù)y=1-（x-1）²的圖象與y=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）的圖象只有一個交點求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得結(jié)論．

解答 解：因為f（x）=x²-2x+a（e^x-1+e^-x+1）=-1+（x-1）²+a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）=0，
所以函數(shù)f（x）有唯一零點等價于方程1-（x-1）²=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）有唯一解，
等價于函數(shù)y=1-（x-1）²的圖象與y=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）的圖象只有一個交點．
①當(dāng)a=0時，f（x）=x²-2x≥-1，此時有兩個零點，矛盾；
②當(dāng)a＜0時，由于y=1-（x-1）²在（-∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，
且y=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）在（-∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，
所以函數(shù)y=1-（x-1）²的圖象的最高點為A（1，1），y=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）的圖象的最高點為B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此時函數(shù)y=1-（x-1）²的圖象與y=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）的圖象有兩個交點，矛盾；
③當(dāng)a＞0時，由于y=1-（x-1）²在（-∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，
且y=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）在（-∞，1）上遞減、在（1，+∞）上遞增，
所以函數(shù)y=1-（x-1）²的圖象的最高點為A（1，1），y=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）的圖象的最低點為B（1，2a），
由題可知點A與點B重合時滿足條件，即2a=1，即a=$\frac{1}{2}$，符合條件；
綜上所述，a=$\frac{1}{2}$，
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)零點的判定定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于難題．