Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊分別是a，b，c，已知c=1， C=

π

3

．
（Ⅰ）若cosθ=

3

5

， 0＜θ＜π，求cos（θ+C）；
（Ⅱ）若sin（A+B）+sin（A-B）=3sin2B，且B≠

π

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinθ=

4

5

，再由兩角和差的余弦公式求得cos（θ+C）的值．
（Ⅱ）由條件利用兩角和差的正弦公式展開化簡(jiǎn)可得sinA=3sinB，故a=3b，由余弦定理求得b的值，再由S=

1

2

absinC求得結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cosθ=

3

5

， 0＜θ＜π，∴sinθ=

4

5

．…（2分）
∴cos(θ+C)=cosθcos

π

3

-sinθsin

π

3

=

3

5

•

1

2

-

4

5

•

3

2

=

3-4 3

10

．…（6分）
（Ⅱ）由條件sin（A+B）+sin（A-B）=3sin2B，利用兩角和差的正弦公式展開化簡(jiǎn)可得：2sinAcosB=6sinBcosB，…（8分）
∵B≠

π

2

，∴cosB≠0，∴sinA=3sinB，…（9分）∴a=3b．
由余弦定理求得：b=

7

7

，…（13分）
∴△ABC的面積S=

1

2

absinC=

3 3

28

．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的正弦公式、余弦公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、正弦定理、余弦定理以及二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．