Question

已知y=f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)，此函數(shù)滿足對定義域內的任意實數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且f（2）=1，又已知f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（1）求f（1），f（-1）的值；
（2）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并給出證明；
（3）如果f（x）+f（2-x）≥2，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調性的性質

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）令x=y=1，可得f（1），再令x=y=-1，可得f（-1）；
（2）令y=-1，則f（-x）=f（x）+f（-1），再由f（-1），即可判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）令x=y=2，求得f（4）=2，原不等式等價于f[x（2-x）]≥f（4）．再由偶函數(shù)和單調性的定義，即可得到不等式，解出即可．

解答： 解：（1）令x=y=1，則f（1×1）=f（1）+f（1），得f（1）=0；
再令x=y=-1，則f[（-1）•（-1）]=f（-1）+f（-1），得f（-1）=0．
（2）對于條件f（x•y）=f（x）+f（y），令y=-1，則f（-x）=f（x）+f（-1），
所以f（-x）=f（x）．又函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，
所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
（3）∵f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2），又f（2）=1，∴f（4）=2．
∵f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，
∴原不等式等價于f[x（2-x）]≥f（4）．
又函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴原不等式又等價于x（2-x）≥4或x（2-x）≤-4，
解得x≤1-

5

或x≥1+

5

．

點評：本題抽象函數(shù)的奇偶性和單調性及運用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，考查運算能力，屬于中檔題．