已知函數(shù)f(x)=alnx-
1x
,a∈R.
(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x+2y=0垂直,求a的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)a=1,且x≥2時(shí),證明:f(x-1)≤2x-5.
分析:(Ⅰ)導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線斜率,垂直的直線斜率互為負(fù)倒數(shù).
(Ⅱ)導(dǎo)數(shù)大于0,對(duì)應(yīng)區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間;導(dǎo)數(shù)小于0,對(duì)應(yīng)區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間
(Ⅲ)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)的最值,證明不等式.
解答:解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x>0},f′(x)=
a
x
+
1
x2

又曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x+2y=0垂直,
所以f'(1)=a+1=2,
即a=1.
(Ⅱ)由于f′(x)=
ax+1
x2

當(dāng)a≥0時(shí),對(duì)于x∈(0,+∞),有f'(x)>0在定義域上恒成立,
即f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
當(dāng)a<0時(shí),由f'(x)=0,得x=-
1
a
∈(0,+∞)

當(dāng)x∈(0,-
1
a
)
時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(-
1
a
,+∞)
時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
(Ⅲ)當(dāng)a=1時(shí),f(x-1)=ln(x-1)-
1
x-1
x∈[2,+∞).
g(x)=ln(x-1)-
1
x-1
-2x+5
g(x)=
1
x-1
+
1
(x-1)2
-2=-
(2x-1)(x-2)
(x-1)2

當(dāng)x>2時(shí),g′(x)<0,g(x)在(2,+∞)單調(diào)遞減.
又g(2)=0,所以g(x)在(2,+∞)恒為負(fù).
所以當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí),g(x)≤0.
ln(x-1)-
1
x-1
-2x+5≤0

故當(dāng)a=1,且x≥2時(shí),f(x-1)≤2x-5成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義;切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為切線斜率;用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間:導(dǎo)數(shù)大于0,對(duì)應(yīng)區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間;導(dǎo)數(shù)小于0,對(duì)應(yīng)區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間;用導(dǎo)數(shù)求最值,證明不等式.
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已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

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已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
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(a>0且a≠1)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(8,6).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=(  )
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實(shí)數(shù)a的值;
(III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

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12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
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