【題目】已知函數(shù),

(Ⅰ)求曲線在點處的切線的斜率;

(Ⅱ)判斷方程的導數(shù)在區(qū)間內(nèi)的根的個數(shù),說明理由

(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點,的取值范圍

【答案】見解析

【解析】試題分析:求導.根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得.

(Ⅱ)設(shè), .

的單調(diào)性及因為, ,可知有且只有一個使成立.即方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實數(shù)根.

(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點,由于,在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點兩側(cè)異號.

的單調(diào)性可知函數(shù)處取得極大值.

時,雖然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點, 兩側(cè)同號不滿足在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點的要求.

若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點,兩側(cè)異號,

則只需滿足: .即可得到的取值范圍

試題解析:

. .

(Ⅱ)設(shè) .

, ,則函數(shù)為減函數(shù).

又因為, ,

所以有且只有一個,使成立.

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點,即方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實數(shù)根.

(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點,由于,在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點,兩側(cè)異號.

因為當時,函數(shù)為減函數(shù),所以在 ,成立,函數(shù)為增函數(shù);

, ,成立,函數(shù)為減函數(shù).

則函數(shù)處取得極大值.

時,雖然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點, 兩側(cè)同號不滿足在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點的要求.

由于 ,顯然.

若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點兩側(cè)異號,

則只需滿足:

.即解得.

練習冊系列答案
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