Question

已知函數(shù)．
（1）求f^-1（x）的表達式；
（2）判斷f^-1（x）的單調(diào)性；
（3）若對于區(qū)間上的每一個x的值，不等式恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)解x，交換x、y的位置，求出f^-1（x）的表達式；
（2）根據(jù)互為反函數(shù)的函數(shù)單調(diào)性相同，求f^-1（x）的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）把f^-1（x）的表達式代入不等式中，整理轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式恒成立，借助于一次函數(shù)的圖象可得關(guān)于m的不等式組，求得m的取值范圍．
解答：解：（1）由，得，
即，于是．
又x＞1時，∈（0，1），所以∈（0，1）．

．
（2）由于=1-是（1，+∞）上的增函數(shù)，且＞0，
∴f（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，
從而f^-1（x）是（0，1）上的增函數(shù)；
（3）（1-）f^-1（x）＞m（m-），亦即在區(qū)間上恒成立，
∴解得．
點評：考查求反函數(shù)的方法，體現(xiàn)解方程的思想方法，注意互為反函數(shù)的定義域和值域及單調(diào)性之間的關(guān)系；不等式恒成立的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，求函數(shù)的最值體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬難題．