Question

（2010•武昌區(qū)模擬）已知矩形ABCD中，AB=

2

，AD=1，將△ABD沿BD折起，使點A在平面BCD內的射影落在DC上．
（1）求證：平面ABD⊥平面ABC；
（2）若E為線段BD的中點，求二面角B-AC-E的大�。�

Answer 1

分析：（1）要證明平面ABD⊥平面ABC，我們只需要證明在一個平面內的一條直線垂直于另一個平面，即證DA⊥平面ABC，利用點A在平面BCD內的射影落在DC上，可證平面ADC⊥平面BCD，從而BC⊥平面ADC，故可得證；
（2）取AB中點F，連EF，過F作FG⊥AC，垂足為G，連接EG，則∠EGF是所求二面角的平面角，在Rt△EFG中，可求二面角B-AC-E的大小．

解答：證明：（1）∵點A在平面BCD內的射影落在DC上，
即平面ACD經過平面BCD的垂線，
∴平面ADC⊥平面BCD，
∵BC⊥CD，
∴BC⊥平面ADC，
∵DA?平面ADC，
∴BC⊥DA．
又DA⊥AB，AB∩BC=B
∴DA⊥平面ABC，
∴平面ABD⊥平面ABC…（4分）
（2）取AB中點F，連EF，
∵E為BD中點，
∴EF∥AD
∵DA⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，
過F作FG⊥AC，垂足為G，連接EG，則GF為EG在平面ABC的射影，
∴EG⊥AC
∴∠EGF是所求二面角的平面角…（6分）
在△ABC中，∵FG⊥AC，BC⊥AC，BC=1
∴FG∥BC，FG=

1

2

BC=

1

2

，
∵EF∥

1

2

AD，AD=1
∴EF=

1

2

∴在Rt△EFG中，∠EGF=45°
即二面角B-AC-E的大小是45°…（12分）

點評：本題以矩形為載體，考查平面圖形的翻折，考查面面垂直的判斷，考查面面角，解題的關鍵是正確運用面面垂直的判定定理，找出面面角．