Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過F₂的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，F(xiàn)₁到直線l的距離為2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的焦距；
（Ⅱ）如果

AF2

=2

F2B

，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）過F₁作F₁⊥l可直接根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系得到

3

c=2

3

，求得c的值，進而可得到焦距的值．
（Ⅱ）假設(shè)點A，B的坐標(biāo)，再由點斜式得到直線l的方程，然后聯(lián)立直線與橢圓方程消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，求出兩根，再由

AF2

=2

F2B

可得y₁與y₂的關(guān)系，再結(jié)合所求得到y(tǒng)₁與y₂的值可得到a，b的值，進而可求得橢圓方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)焦距為2c，由已知可得F₁到直線l的距離

3

c=2

3

，故c=2．
所以橢圓C的焦距為4．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知y₁＜0，y₂＞0，直線l的方程為y=

3

(x-2)．
聯(lián)立

y= 3 (x-2) x2 a2 + y2 b2 =1

得(3a2+b2)y2+4

3

b2y-3b4=0．
解得y1=

- 3 b2(2+2a)

3a2+b2

，y2=

- 3 b2(2-2a)

3a2+b2

．
因為

AF2

=2

F2B

，所以-y1=2y2．
即

3 b2(2+2a)

3a2+b2

=2•

- 3 b2(2-2a)

3a2+b2

．
得a=3．而a2-b2=4，所以b=

5

．
故橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．

點評：本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)．考查考生對橢圓基本性質(zhì)的理解和認知，橢圓的基本性質(zhì)是高考的重點內(nèi)容，每年必考，一定要熟練掌握并能靈活運用．