Question

在△ABC中，角A，B，C對應邊分別是a，b，c，c=2，sin²A+sin²B-sin²C=sinAsinB．
（1）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC面積；
（2）求AB邊上的中線長的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，再利用余弦定理表示出cosC，將得出關系式代入求出cosC的值，確定出C的度數(shù)，sinC+sin（B-A）=2sin2A化簡后，根據(jù)cosA為0與cosA不為0兩種情況，分別求出三角形ABC面積即可；
（2）根據(jù)CD為AB邊上的中線，得到

CD

=

CA + CB

2

，兩邊平方并利用平面向量的數(shù)量積運算法則變形得到關系式，利用余弦定理列出關系式，將cosC與c的值代入得到關系式，代入計算即可確定出|CD|的范圍．

解答： 解：（1）由sin²A+sin²B-sin²C=sinAsinB，利用正弦定理化簡得：a²+b²-c²=ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

，即C=

π

3

，
∵sinC+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A，
∴sinBcosA=2sinAcosA，
當cosA=0，即A=

π

2

，此時S_△ABC=

2 3

3

；
當cosA≠0，得到sinB=2sinA，利用正弦定理得：b=2a，此時此時S_△ABC=

2 3

3

；
（2）∵

CD

=

CA + CB

2

，
∴|CD|²=

a2+b2+2abcos π 3

4

=

a2+b2+ab

4

，
∵cosC=

1

2

，c=2，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即a²+b²-ab=4，
∴|CD|²=

a2+b2+ab

4

=

4+2ab

4

＞1，且|CD|²=

4+2ab

4

≤3，
則|CD|的范圍為（1，

3

]．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，熟練掌握定理是解本題的關鍵．