已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，Q為雙曲線左準(zhǔn)線上的點(diǎn)，且QF交雙曲線于第一象限一點(diǎn)P，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OP垂直平分FQ，則雙曲線的離心率e=
 
．
分析：根據(jù)題意可推斷出F和Q的坐標(biāo)，表示出其中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程求得y，利用換元法令e-
1
e
=t 利用k*k'=-1求得a，b和e的關(guān)系，最后整理成關(guān)于e的一元二次方程求得答案．
解答：解：離心率 e=
c
a
左準(zhǔn)線 x=
-a2
c
=-
a
e
右焦點(diǎn) （c，0） Q（ae，0）
P 是FQ中點(diǎn)，所以 P 點(diǎn)橫坐標(biāo)
x=
1
2
（-
a
e
+ae）=
1
2
a（e-
1
e
）
代入到雙曲線方程，考慮P在第一象限，得到縱坐標(biāo)
y=b
x2
a2
-1
=
b
2
(e-
1
e
) 2-4
設(shè) e-
1
e
=t
x=
at
2
y=
b
2
•
t2-4
PF斜率 k=
b
2
t2-4
at
2
-ae
，
OP 斜率
k'=
b
2
t2-4
at
2

PF 與 OP 垂直
k  k'=-1，（
b
a
）2  （t2-4）=t（2e-t）
其中
b2
a2
=e2-1
把 t 表達(dá)式代回 
整理得e2+
1
e2
-6=1+
1
e2
求得e2=7
∴e=
7

故答案為：
7
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了學(xué)生綜合把握基礎(chǔ)知識(shí)的能力，基本的運(yùn)算的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•許昌三模）已知雙曲線c：
x2
a
-
y2
b
=1（a＞．，b＞0）的半焦距為c，過(guò)左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與雙曲線C的左、右支各有一個(gè)交點(diǎn)，若拋物線y2=4cx的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長(zhǎng)大于
2
2
3
be2．（e為雙曲線c的離心率），則e的取值范同是
（
2
，
3
）
（
2
，
3
）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•寧波模擬）已知雙曲線
x2
a
-
y2
a2+a+1
=1的離心率的范圍是數(shù)集M，設(shè)p：“k∈M”； q：“函數(shù)f（x）=
lg
x-1
x-2
  x＜1
2x-k       x≥1
的值域?yàn)镽”．則P是Q成立的（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：寧波模擬 題型：單選題

已知雙曲線
x2
a
-
y2
a2+a+1
=1的離心率的范圍是數(shù)集M，設(shè)p：“k∈M”； q：“函數(shù)f（x）=
lg
x-1
x-2
  x＜1
2x-k       x≥1
的值域?yàn)镽”．則P是Q成立的（　�。�
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知雙曲線c：
x2
a
-
y2
b
=1（a＞．，b＞0）的半焦距為c，過(guò)左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與雙曲線C的左、右支各有一個(gè)交點(diǎn)，若拋物線y2=4cx的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長(zhǎng)大于
2
2
3
be2．（e為雙曲線c的離心率），則e的取值范同是______．

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