Question

8．設(shè)a≤2，求y=（x-2）|x|在[a，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由絕對(duì)值的含義，去絕對(duì)值，再由二次函數(shù)的最值求法，對(duì)a討論，結(jié)合單調(diào)性，即可得到最值．

解答 解：y=（x-2）|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x＞0}\\{2x-{x}^{2}，x≤0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≤0，y=-（x-1）²+1，
當(dāng)x＞0，y=（x-1）²-1，
當(dāng)1≤a≤2時(shí)，函數(shù)在[a，2]遞增，y_min=a²-2a，y_max=0；
當(dāng)1-$\sqrt{2}$≤a＜1時(shí)，在[a，0）遞增，（0，1）遞減，（1，2）遞增，
即有y_min=1-2=-1，y_max=0；
當(dāng)a＜1-$\sqrt{2}$時(shí)，在[a，0）遞增，（0，1）遞減，（1，2）遞增，
即有y_min=（a-2）|a|=2a-a²，y_max=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查含絕對(duì)值函數(shù)的最值的求法，注意分類討論的思想方法，以及函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．