Question

9．點(diǎn)P是橢圓$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{9}$=1上一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{2}$（${\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OF}}$），|${\overrightarrow{OQ}}$|=4，則點(diǎn)P到拋物線y²=15x的準(zhǔn)線的距離為（　　）

• A． $\frac{15}{4}$
• B． $\frac{15}{2}$
• C． 15
• D． 10

Answer 1

分析 由橢圓的方程設(shè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)P（5cosα，3sinα），求得向量$\overrightarrow{OQ}$，${\overrightarrow{OP}$和$\overrightarrow{OF}}$，根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式，求得$cosα=\frac{3}{4}$，求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，由拋物線y²=15x的準(zhǔn)線方程為：x=-$\frac{15}{4}$，即可求得點(diǎn)P到拋物線y²=15x的準(zhǔn)線的距離．

解答 解：設(shè)P（5cosα，3sinα），由$\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF}}）\;\;，\;\;|{\overrightarrow{OQ}}|=4$，
∴${（{\frac{4+5cosα}{2}}）^2}+{（{\frac{3cosα}{2}}）^2}=16$，
即16cos²α+40cosα-39=0，
解得：$cosα=\frac{3}{4}$或$cosα=-\frac{13}{4}$（舍去），
即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為$\frac{15}{4}$，
拋物線y²=15x的準(zhǔn)線方程為：x=-$\frac{15}{4}$，
∴點(diǎn)P到拋物線y²=15x的距離為$\frac{15}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)方程，考查向量的坐標(biāo)表示，拋物線的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．