已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f（2+x）=f（2-x）．
（Ⅰ）證明：f（x+4）=f（x）；
（Ⅱ）當x∈（4，6）時，f（x）=數(shù)學公式．討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上的單調(diào)性．

解：（Ⅰ）因為函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
所以f（-x）=f（x），（1）（2分）
又f（2+x）=f（2-x）?f（2+2+x）=f（2-2-x）?f（4+x）=f（-x）（2）
由（1）、（2）得f（x+4）=f（x）（5分）
（Ⅱ）因為當x∈（4，6）時，f（x）=
當0＜x＜2時，4＜x+4＜6，
由（Ⅰ）知f（x）=f（x+4）
=
=（7分）
f′（x）=（9分）
令f′（x）=0，得x=-3或x=l，因為0＜x＜2，所以x=1．
因為x∈（0，1）時，f′（x）＜O，x∈（1，2）時，f′（x）＞O，
所以函數(shù)以f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增．（12分）
分析：（1）先由偶函數(shù)尋求f（-x）與f（x）的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化f（2+x）=f（2-x）為f（4+x）=f（-x）即可；
（2）先求（0，2）上的解析式，再用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性．
點評：本題主要考查奇偶性和單調(diào)性以及轉(zhuǎn)化化歸思想．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2x+2-x
2
，g（x）=
2x-2-x
2
，
（1）計算：[f（1）]2-[g（1）]2；
（2）證明：[f（x）]2-[g（x）]2是定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=x+
a
x
的定義域為（0，+∞），且f（2）=2+
2
2
．設(shè)點P是函數(shù)圖象上的任意一點，過點P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）求a的值．
（2）問：|PM|•|PN|是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．
（3）設(shè)O為坐標原點，求四邊形OMPN面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求證：y1+y2為定值；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數(shù)列{an}的前n項和，若Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M（x1，y1），N（x2，y2）是f（x）圖象上的兩點，且x1+x2=1．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）（n∈N*，N≥2），求Sn；
（3）在（2）的條件下，若an=
1
6
 ，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn為數(shù)列{an}的前n項和．求Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2x-
π
6
），g（x）=sin（2x+
π
3
），直線y=m與兩個相鄰函數(shù)的交點為A，B，若m變化時，AB的長度是一個定值，則AB的值是（　�。�

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