Question

3．在正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1-$\sqrt{{a}_{n+1}}$=a_n+$\sqrt{{a}_{n}}$，求證：數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 根據(jù)a_n+1-$\sqrt{{a}_{n+1}}$=a_n+$\sqrt{{a}_{n}}$，利用平方差公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可．

解答 證明：∵a_n+1-$\sqrt{{a}_{n+1}}$=a_n+$\sqrt{{a}_{n}}$，
∴a_n+1-a_n=$\sqrt{{a}_{n+1}}$+$\sqrt{{a}_{n}}$，
∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，
∴a_n+1-a_n=（$\sqrt{{a}_{n+1}}$-$\sqrt{{a}_{n}}$）（$\sqrt{{a}_{n+1}}$+$\sqrt{{a}_{n}}$）=$\sqrt{{a}_{n+1}}$+$\sqrt{{a}_{n}}$，
即$\sqrt{{a}_{n+1}}$-$\sqrt{{a}_{n}}$=1，
即{$\sqrt{{a}_{n}}$}是公差為1的等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列的證明，利用等差數(shù)列的定義是證明本題的基本方法．