Question

已知數(shù)列{a_n}是各項均為為0的等差數(shù)列，S_n為其前n項和，且滿足S_2n-1=

1

2

a

2n

，n∈N*．數(shù)列{b_n}滿足b_n=

2n-1，n為奇數(shù) 1 2 an-1，n為偶數(shù)

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和．
（I）求a_n，b_n；
（Ⅱ）試比較T_2n與2n²+

n

3

的大�。�

Answer 1

（I）設數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
在S_2n-1=

1

2

an2中，令n=1，2，得

a12=2S1 a22=2S3

即

a12=2a1 (a1+d)2=2(3a1+3d)

…2分
解得a₁=2，d=4，d=-2（舍去），
∴a_n=4n-2…4分
∴b_n=

2n-1，n為奇數(shù) 2n-3，n為偶數(shù)

…5分
（Ⅱ）T_2n=1+2×2-3+2²+2×4-3+2⁴+…+2^2n-2+2×2n-3…9分
=1+2²+2⁴+…+2^2n-2+4（1+2+…+n）-3n
=

1-4n

1-4

+4•

n(n+1)

2

-3n
=

4n

3

-

1

3

+2n²-n…8分
∴T_2n-（2n²+

n

3

）=

1

3

（4ⁿ-4n-1），
當n=1時，

1

3

（4ⁿ-4n-1）=-

1

3

＜0；
當n=2時，

1

3

（4ⁿ-4n-1）=

7

3

＞0；
當n=3時，

1

3

（4ⁿ-4n-1）=

51

3

＞0；
…
猜想當n≥2時，T_2n＞2n²+

n

3

，即n≥2時，4ⁿ＞4n+1．
下面用數(shù)學歸納法證明：
①當n=2時，4²=16，4×2+1=9，16＞9，成立；
②假設當n=k（k≥2）時成立，即4^k＞4k+1．
則當n=k+1時，4^k+1=4•4^k＞4（4k+1）=16k+4＞4k+5=4（k+1）+1，
∴n=k+1時成立．
由①②得，當n≥2時，4ⁿ＞4n+1成立…11分
綜上，當n=1時，T_2n＜2n²+

n

3

，
當n≥2時，T_2n＞2n²+

n

3

…12分