Question

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e）其中e是自然常數(shù)，a∈R．
（1）討論a=1時(shí)，f（x）的單調(diào)性、極值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-lnx，
則f/(x)=1-

1

x

=

x-1

x

（1分）
f/(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0且x∈（0，e）得x∈[1，e）單調(diào)遞增；（3分）
f/(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＜0且x∈（0，e）得x∈（0，1）單調(diào)遞減；（5分）
當(dāng)x=1時(shí)取到極大值1；（6分）
（2）f/(x)=

ax-1

x

（7分）
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上單調(diào)遞減f（e）＜0，與題意不符；（9分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=0的根為

1

a

當(dāng)0＜

1

a

＜e時(shí)，f(x)在x∈(0，

1

a

)上單調(diào)遞減，在(

1

a

，e)上單調(diào)遞增f(x)min=f(

1

a

)=1-ln

1

a

=3，解得a=e²（12分）
③當(dāng)

1

a

≥e時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上單調(diào)遞減f（e）＜0，與題意不符；（14分）
綜上所述a=e²（15分）