【題目】已知函數(shù).
(1)若,求
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于的不等式
對(duì)一切
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)求證:對(duì),都有
.
【答案】(1) 單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為
.(2)
;(3)證明見解析.
【解析】試題分析:
(1)求解導(dǎo)函數(shù)有.結(jié)合函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系可得
的單調(diào)增區(qū)間為
,單調(diào)減區(qū)間為
.
(2)二次求導(dǎo)可得.分類討論:
①當(dāng)時(shí),
對(duì)一切
恒成立.
②當(dāng)時(shí),
,
對(duì)一切
不恒成立.
③當(dāng)時(shí),
對(duì)一切
不恒成立.
綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是
.
(3)結(jié)合(2)的結(jié)論,取,有
時(shí),
.則
.結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可證得題中的不等式.
試題解析:
(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)
,
定義域?yàn)?/span>,
.
令可得
,令
可得
.
所以的單調(diào)增區(qū)間為
,單調(diào)減區(qū)間為
.
(2),
.
①當(dāng)時(shí),
,
.
故在區(qū)間
上遞增,
所以,從而
在區(qū)間
上遞增.
所以對(duì)一切
恒成立.
②當(dāng)時(shí),
,
.
當(dāng)時(shí),
,
當(dāng)時(shí),
.
所以時(shí),
.
而,故
.
所以當(dāng)時(shí),
,
遞減,
由,知
,此時(shí)
對(duì)一切
不恒成立.
③當(dāng)時(shí),
,
在區(qū)間
上遞減,有
,
從而在區(qū)間
上遞減,有
.
此時(shí)對(duì)一切
不恒成立.
綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是
.
(3)由(2)可知,取,當(dāng)
時(shí),有
.
取,有
,即
.
所以
,
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明設(shè)置的手機(jī)開機(jī)密碼若連續(xù)3次輸入錯(cuò)誤,則手機(jī)被鎖定,5分鐘后,方可重新輸入.
某日,小明忘記了開機(jī)密碼,但可以確定正確的密碼是他常用的4個(gè)密碼之一,于是,他
決定逐個(gè)(不重復(fù))進(jìn)行嘗試.
(1)求手機(jī)被鎖定的概率;
(2)設(shè)第次輸入后能成功開機(jī),求
的分布列和數(shù)學(xué)期望
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面
是平行四邊形,側(cè)面
是邊長(zhǎng)為2的正三角形,
,
.
(Ⅰ)求證:平面平面
;
(Ⅱ)設(shè)是棱
上的點(diǎn),當(dāng)
平面
時(shí),求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且
.
(Ⅰ)若,過(guò)原點(diǎn)作曲線
的切線
,求直線
的方程;
(Ⅱ)若有
個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為
,過(guò)
且與
軸垂直的弦長(zhǎng)為3.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)作直線
與橢圓交于
兩點(diǎn),問(wèn):在
軸上是否存在點(diǎn)
,使
為定值,若存在,請(qǐng)求出
點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),則下列結(jié)論正確的是( )
A. 導(dǎo)函數(shù)為
B. 函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C. 函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)
D. 函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)y=3cos 2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在上的函數(shù)
,
,
其中,設(shè)兩曲線
有公共點(diǎn),且在公共點(diǎn)處的切線相同.
(Ⅰ)若,求
的值;
(Ⅱ)用表示
,并求
的最大值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是等腰梯形,
,
,
平面
,
,
.
(1)求證: 平面
;
(2)求直線與平面
所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面
為梯形,
,
,
,平面
平面
,
.
(1)求證: ;
(2)是否存在點(diǎn),到四棱錐
各頂點(diǎn)的距離都相等?說(shuō)明理由.
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