Question

已知過(guò)點(diǎn)P（1，2）的直線l，被雙曲線2x²-y²=2截得的弦AB長(zhǎng)4

2

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,作圖題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意作圖，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）+2，從而可得（2-k²）x²+（2k^2-4k）x-k²+4k-6=0，從而可得m+n=-

2k2-4k

2-k2

，m•n=

-k2+4k-6

2-k2

；利用弦長(zhǎng)公式可得2k⁴+2k³-11k²+2k+5=0，從而解得k=1，從而寫(xiě)出直線的方程即可．

解答： 解：作圖如右圖，
設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）+2，
與雙曲線方程2x²-y²=2聯(lián)立消y得，
（2-k²）x²+（2k^2-4k）x-k²+4k-6=0，
設(shè)A（m，k（m-1）+2），B（n，k（n-1）+2）；
故m+n=-

2k2-4k

2-k2

，m•n=

-k2+4k-6

2-k2

；
則由弦AB長(zhǎng)4

2

可得，

1+k2

•|m-n|=4

2

，
即（1+k²）[（-

2k2-4k

2-k2

）²-4

-k2+4k-6

2-k2

]=32，
化簡(jiǎn)可得，2k⁴+2k³-11k²+2k+5=0，
解得，k=1；
故直線l的方程為y=x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線的應(yīng)用及運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．