Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

；且拋物線y²=4

3

x的焦點恰好是橢圓C的一個焦點．求過點D（0，3）作直線L與橢圓C交于A，B兩點，點N滿足

ON

=

OA

+

OB

，O為原點．求四邊形OANB面積的最大值，并求此時直線L的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出拋物線的焦點，運用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，求得a，b，得到橢圓方程，確定四邊形OANB為平行四邊形，則S_OANB=2S_△OAB，表示出面積，利用基本不等式，即可求得最大值，從而可得直線l的方程．

解答： 解：橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，即為

c

a

=

3

2

，
由于拋物線y²=4

3

x的焦點（

3

，0）恰好是橢圓C的一個焦點，
則c=

3

，a=2，即有b=

a2-c2

=1，
則橢圓方程為

x2

4

+y²=1．
因為

ON

=

OA

+

OB

，所以四邊形OANB為平行四邊形，
當直線l的斜率不存在時顯然不符合題意；
當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+3，
l與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
由

y=kx+3 x2+4y2=4

得（1+4k²）x²+24kx+32=0，
由△=24²k²-128（1+4k²）＞0，得k²＞2，
x₁+x₂=-

24k

1+4k2

，x₁x₂=

32

1+4k2

，
由于S_△OAB=

1

2

|OD|•|x₁-x₂|=

3

2

|x₁-x₂|，
則平行四邊形OANB的面積S'=2S_△OAB=3|x₁-x₂|=3

(x1+x2)2-4x1x2

=3

( 24k 1+4k2 )2- 128 1+4k2

=

24 k2-2

1+4k2

令k²-2=t，則k²=2+t，（t＞0），即有S'=

24 t

1+4(2+t)

=

24

4 t + 9 t

≤

24

2 4 t • 9 t

=2，當且僅當4

t

=

9

t

即有t=

9

4

，即k²=

17

4

即有k=±

17

2

取得等號．
則有k=±

17

2

，平行四邊形OANB面積的最大值為2，
此時直線l的方程為y=±

17

2

x+3．

點評：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．