Question

已知函數(shù)，常數(shù)a＞0．
（1）設(shè)m•n＞0，證明：函數(shù)f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增；
（2）設(shè)0＜m＜n且f（x）的定義域和值域都是[m，n]，求常數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）運用函數(shù)的定義判斷證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟：①取值x₁，x₂∈[m，n]；②作差f（x₁）-f（x₂）變形；③定號；④下結(jié)論；
（2）逆向運用函數(shù)單調(diào)性的定義，我們可以得到：f（m）=m，f（n）=n，轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，利用根的判別式，從而求出參數(shù)的范圍．
解答：解：（1）任取x₁，x₂∈[m，n]，且x₁＜x₂，，
因為x₁＜x₂，x₁，x₂∈[m，n]，所以x₁x₂＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增．
（2）因為f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增，
f（x）的定義域、值域都是[m，n]?f（m）=m，f（n）=n，
即m，n是方程的兩個不等的正根?a²x²-（2a²+a）x+1=0有兩個不等的正根．
所以△=（2a²+a）²-4a²＞0，
點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．運用函數(shù)的定義判斷證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟：（1）取值；（2）作差變形；（3）定號；（4）下結(jié)論．取值時，必須注意定義中的x₁、x₂具有的三個特征；變形時，一定要分解完全，對于抽象函數(shù)問題注意合理的利用條件等．