13．已知：a＞0，b＞0，a+4b=4
（1）求ab的最大值；
（2）求$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值．

分析 （1）利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）變形$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=$\frac{1}{4}$（a+4b）$（\frac{1}{a}+\frac{4}）$=$\frac{1}{4}$$（1+16+\frac{4b}{a}+\frac{4a}）$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0，∴a+4b=4≥2$\sqrt{a•4b}$，化為ab≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=$\frac{1}{2}$時取等號．
∴ab的最大值為1．
（2）∵a＞0，b＞0，∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=$\frac{1}{4}$（a+4b）$（\frac{1}{a}+\frac{4}）$=$\frac{1}{4}$$（1+16+\frac{4b}{a}+\frac{4a}）$≥$\frac{1}{4}（17+4×2\sqrt{\frac{a}×\frac{a}}）$=$\frac{25}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{4}{5}$時取等號．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為$\frac{25}{4}$．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、“乘1法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

3．已知函數(shù)y=f（x），若在定義域內(nèi)存在x0，使得f（-x0）=-f（x0）成立，則稱x0為函數(shù)f（x）的局部對稱點．
（I）若a∈R且a≠0，求函數(shù)f（x）=ax2+x-a的“局部對稱點”；
（II）若函數(shù)f（x）=4x-m•2x+1+m2-3在R上有局部對稱點，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．（1）求不等式a2x-1＞ax+2（a＞0，且a≠1）中x的取值范圍（用集合表示）．
（2）已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=$\sqrt{x}$+1，求函數(shù)f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

1．函數(shù)f（x）=2|x|的定義域為[a，b]，值域為[1，4]，方程b=g（a）表示的圖形可以是（　�。�
A．B．C．D．

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8．已知冪函數(shù)f（x）=（m2-3m+3）xm+1為偶函數(shù)，g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g（x）在區(qū)間（2，3）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

18．下列結(jié)論正確的是（　�。�
A．當(dāng)x＞0且x≠1時，$lgx+\frac{1}{lgx}≥2$B．當(dāng)x＞0時，$\sqrt{x}+\frac{1}{{\sqrt{x}}}≥2$
C．當(dāng)x≥2時，$x+\frac{1}{x}≥2$D．當(dāng)0＜x≤2時，$x-\frac{1}{x}$無最大值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

3．已知函數(shù)f（x）=alnx+ax2+bx，（a，b∈R）．
（1）設(shè)a=1，f（x）在x=1處的切線過點（2，6），求b的值；
（2）設(shè)b=a2+2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上的最大值；
（3）定義：一般的，設(shè)函數(shù)g（x）的定義域為D，若存在x0∈D，使g（x0）=x0成立，則稱x0為函數(shù)g（x）的不動點．設(shè)a＞0，試問當(dāng)函數(shù)f（x）有兩個不同的不動點時，這兩個不動點能否同時也是函數(shù)f（x）的極值點？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG：GC=DH：HC=1：2，求證：
（1）E，F(xiàn)，G，H四點共面；
（2）EG與HF的交點在直線AC上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．已知全集U=R，A={x|x≥3}，B={x|x2-8x+7≤0}，C={x|x≥a-1}．
（Ⅰ）求A∩B，A∪（∁UB）；
（Ⅱ）若A∪C=A，求實數(shù)a的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案