Question

如圖，在直角三角形OAB中，P，Q是斜邊AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，已知，且=．
（1）若，求tanα的值；
（2）試判斷是否為定值，并說明理由；
（3）求△OPQ的面積S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將sin²α+cos²α=1和已知條件聯(lián)立，轉(zhuǎn)化成一元二次方程，解方程求出sinα和cosα，即可求出tanα的值；
（2）根據(jù)sin²α+cos²α=1以及||=，=將其化簡即可得出結(jié)論；
（3）作OC⊥AB于C，列出三角形的面積，然后根據(jù)均值不等式得出答案．
解答：解：（1），消去cosα得，…（2分），即，，或得或．…（5分）
（2）=
所以，為為定值．…（6分）
（3）作OC⊥AB于C，則△OPQ的面積為（當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）…（4分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及三角函數(shù)與向量的結(jié)合問題，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．