Question

如圖，在直角三角形OAB中，P，Q是斜邊AB的兩個三等分點，已知，且=．
（1）若，求tanα的值；
（2）試判斷是否為定值，并說明理由；
（3）求△OPQ的面積S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將sin²α+cos²α=1和已知條件聯立，轉化成一元二次方程，解方程求出sinα和cosα，即可求出tanα的值；
（2）根據sin²α+cos²α=1以及||=，=將其化簡即可得出結論；
（3）作OC⊥AB于C，列出三角形的面積，然后根據均值不等式得出答案．
解答：解：（1），消去cosα得，…（2分），即，，或得或．…（5分）
（2）=
所以，為為定值．…（6分）
（3）作OC⊥AB于C，則△OPQ的面積為（當a=b時取等號）…（4分）
點評：此題考查了同角三角函數的基本關系以及三角函數與向量的結合問題，綜合性較強，有一定難度．