Question

已知.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若存在，使不等式成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）當時，證明：.

 

Answer 1

（Ⅰ）最小值；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）對函數(shù)求導，判斷單調(diào)性，得在上為減函數(shù)，

在上為增函數(shù)∴當時，有最小值

（Ⅱ）對式子轉(zhuǎn)化

要想存在正數(shù),使,則有，

轉(zhuǎn)化為求的最大值問題，借助導數(shù)知識求解，

∴所求的的取值范圍是.

（Ⅲ）

當時，，因此在上為增函數(shù)

∴

由（Ⅰ）知，

∴

即

試題解析：（Ⅰ）∵的定義域為

∴由

由

∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)

∴當時，有最小值

（Ⅱ）

令

則

∴當時,當時

∴

要想存在正數(shù),使,則有

∴所求的的取值范圍是.

（Ⅲ）

當時，，因此在上為增函數(shù)

∴

由（Ⅰ）知，

∴

即

考點：不等式的證明.