Question

12．如圖所示，在三棱錐D-ABC中，DA⊥AC，DA⊥BC，AC=BC=1，AB=$\sqrt{3}$，AD=$\sqrt{2}$，求異面直線AB與CD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 求異面角，先要找到異面角，可以分別過A，C作BC，AB的平行線，設(shè)交于E點(diǎn)，這樣便找到了∠DCE或其補(bǔ)角為所求異面角，根據(jù)條件可說明DA⊥平面ABCE，從而可得到DA⊥AE．這樣根據(jù)已知的邊的長度及垂直關(guān)系可分別求出AE，DE，CE，CD，在△CDE中，根據(jù)余弦定理即可求出cos∠DCE，這樣便求出異面直線AB與CD所成角的余弦值．

解答 解：如圖，過A作BC的平行線，過C作AB的平行線，兩平行線交于E點(diǎn)，并連接DE，則：
AB∥CE；
∴∠DCE或其補(bǔ)角便為異面直線AB，CD所成角；
DA⊥AC，DA⊥BC，AC∩BC=C；
∴DA⊥平面ABCE，AE?平面ABCE；
∴DA⊥AE，$AD=\sqrt{2}，AE=BC=1$；
∴$DE=\sqrt{3}$；
在Rt△ACD中，$CD=\sqrt{3}$，EC=$\sqrt{3}$；
∴在△CDE中，由余弦定理得：cos∠DCE=$\frac{3+5-3}{2\sqrt{3}•\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{6}$；
∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 考查異面直線所成角的定義，及求法，線面垂直的判定定理，線面垂直的性質(zhì)，直角三角形邊的關(guān)系，以及余弦定理的應(yīng)用．