第一問利用數(shù)列的遞推關(guān)系,我們可以得到當n是奇數(shù)時

;當n是偶數(shù)時,

,然后利用遞推關(guān)系,求解得到數(shù)列的通項公式即可
第二問中,利用前n項和的遞推關(guān)系,我們借助于

,
若存在正整數(shù)m、n,使得

,
得到


,借助于m的范圍,對其令值,然后解。
解:(1)當n是奇數(shù)時

;當n是偶數(shù)時,

.
所以,當n是奇數(shù)時,

;當n是偶數(shù)時,

.……………2分
又

,,所以

,是首項為1,公差為2的等差數(shù)列;

…是首項為2,公比為3的等比數(shù)列. …………4分
所以,

. ………………………………6分
(2)由(1),得

,

. ……………8分
所以,若存在正整數(shù)m、n,使得

,則


.……9分
顯然,當m=1時,

;
當m=2時,由

,整理得.

顯然,當n=1時,不成立;
當n=2時,成立,
所以(2,2)是符合條件的一個解. ……………11分
當

時,

……………12分
當m=3時,由

,整理得n=1,
所以(3,1)是符合條件的另一個解.
綜上所述,所有的符合條件的正整數(shù)對(m,n),有且僅有(3,1)和(2,2)兩對. 14分
(注:如果僅寫出符合條件的正整數(shù)對(3,1)和(2,2),而沒有敘述理由,每得到一組正確的解,給2分,共4分)