Question

為了迎接2014年3月30日在鄭州舉行的“中國鄭開國際馬拉松賽”，舉辦單位在活動推介晚會上進行嘉賓現(xiàn)場抽獎活動，抽獎盒中裝有6個大小相同的小球，分別印有“鄭開馬拉松”和“美麗綠城行”兩種標志，搖勻后，參加者每次從盒中同時抽取兩個小球（取出后不再放回），若抽到的兩個球都印有“鄭開馬拉松”標志即可獲獎．并停止取球；否則繼續(xù)抽取，第一次取球就抽中或一等獎，第二次取球抽中獲二等獎，第三次取球抽中獲三等獎，沒有抽中不獲獎．活動開始后，一位參加者問：“盒中有幾個印有‘鄭開馬拉松’的小球？”主持人說：“我只知道第一次從盒中同時抽兩球，不都是‘美麗綠城行’標志的概率是

4

5

．”
（Ⅰ）求盒中印有“鄭開馬拉松”小球的個數(shù)；
（Ⅱ）若用η表示這位參加者抽取的次數(shù)，求η的分布列及期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）設印有“美麗綠城行”的球有n個，同時抽兩球不都是“美麗綠城行”標志為事件A，則同時抽取兩球都是“美麗綠城行”標志的概率是P(

.

A

)=

C 2 n

C 2 6

，由此能求出n=3．
（Ⅱ）由已知，兩種球各三個，故η可能取值分別為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出η的分布列及期望．

解答： 解：（Ⅰ）設印有“美麗綠城行”的球有n個，
同時抽兩球不都是“美麗綠城行”標志為事件A，
則同時抽取兩球都是“美麗綠城行”標志的概率是P(

.

A

)=

C 2 n

C 2 6

，（3分）
由對立事件的概率：P（A）=1-P(

.

A

)=

4

5

．
即P(

.

A

)=

C 2 n

C 2 6

=

1

5

，解得n=3．（5分）
（Ⅱ）由已知，兩種球各三個，故η可能取值分別為1，2，3，（6分）．（7分）   
P(η=2)=

C 2 3

C 2 6

•

C 2 3

C 2 4

+

C 1 3 C 1 3

C 2 6

•

C 2 2

C 2 4

=

1

5

，（9分）
P(η=3)=1-P(η=1)-P(η=2)=

3

5

，
則η的分布列為：

η	1	2	3
P	1 5	1 5	3 5

（11分）
所以Eη=1×

1

5

+2×

1

5

+3×

3

5

=

12

5

．（12分）

點評：本題考查小球個數(shù)的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．