Question

已知橢圓M的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，其短軸長為2，離心率為

3

2

．點P（x₀，y₀）為橢圓M內(nèi)一定點（不在坐標(biāo)軸上），過點P的兩直線分別與橢圓交于點A，C和B，D，且AB∥CD．
（Ⅰ）求橢圓M的標(biāo)準方程；
（Ⅱ）證明：直線AB的斜率為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓M的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，其短軸長為2，離心率為

3

2

，求出幾何量，即可求橢圓M的標(biāo)準方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由

AP

=λ

PC

得到x₃=

(1+λ)x0-x1

λ

，y₃=

(1+λ)y0-y1

λ

，再由點C在橢圓上，即可得到（1+λ）²（

x02

4

+y02）-

1

2

（1+λ）（x₀x₁+4y₀y₁）=λ²-1，又由點A在橢圓上以及AB∥CD，得到x₀（x₁-x₂）+4y₀（y₁-y₂）=0，又易知不與坐標(biāo)軸平行，即得證．

解答： （Ⅰ）解：∵短軸長為2，離心率為

3

2

，
∴a=2，b=1，
∵焦點在x軸上，
∴橢圓M的標(biāo)準方程

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），

AP

=λ

PC

，
∴x₃=

(1+λ)x0-x1

λ

，y₃=

(1+λ)y0-y1

λ

，
∵點C在橢圓上，∴

x32

4

+y32=1，
又點A在橢圓上，∴

x12

4

+y12=1，
從而可得（1+λ）²（

x02

4

+y02）-

1

2

（1+λ）（x₀x₁+4y₀y₁）=λ²-1   ①
又∵AB∥CD，故有

BP

=λ

PD

．
同理可得（1+λ）²（

x02

4

+y02）-

1

2

（1+λ）（x₀x₂+y₀y₂）=λ²-1②
②-①得
x₀（x₁-x₂）+4y₀（y₁-y₂）=0，
∵P點不在坐標(biāo)軸上，∴x₀≠0，y₀≠0，
又易知不與坐標(biāo)軸平行，∴直線AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

x0

4y0

，為定值．

點評：本題考查橢圓標(biāo)準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題．