Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱D₁D和B₁C₁的中點，
（1）求證：BD₁∥平面EAC；
（2）求證：平面EAC⊥平面BB₁D₁D；
（3）求直線BF與平面BB₁D₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）連接BD交AC于O，連接EO，利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可得出；
（2）利用正方體和正方形的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、面面垂直的判定定理即可得出；
（3）作FG⊥B₁D₁于G，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得FG⊥平面BB₁D₁D，連接BG，可知：BG是BF在平面BB₁D₁D上的射影，因此∠FBG是直線BF與平面BB₁D₁D所成角．

解答：解：（1）連接BD交AC于O，連接EO，
∵E、O分別為D₁D、BD的中點，
∴EO∥D₁B，
又EO?平面EAC，D₁B?平面EAC，
∴D₁B∥平面EAC．
（2）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，
∴B₁B⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴B₁B⊥AC，
又∵在正方形ABCD中，BD⊥AC，
∴AC⊥平面BB₁D₁D．
又AC?平面EAC
∴平面EAC⊥BB₁D₁D．
（3）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，∴BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁
∴平面A₁B₁C₁D₁⊥平面BB₁D₁D，
平面A₁B₁C₁D₁∩平面BB₁D₁D=B₁D₁，
作FG⊥B₁D₁于G，∴FG⊥平面BB₁D₁D，
連接BG，∴BG是BF在平面BB₁D₁D上的射影，
∴∠FBG是直線BF與平面BB₁D₁D所成角．
設正方體棱長為a，在Rt△FGB₁中，FG=

2

4

a，
在Rt△BB₁F中，BF=

5

2

a，所以sin∠FBG=

10

10

即直線BF與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為

10

10

．

點評：本題考查了三角形的中位線定理和線面平行的判定定理、正方體和正方形的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、面面垂直的判定和性質(zhì)定理、線面角等基礎知識與基本技能方法，考查了空間想象能力和推理能力，屬于難題．