Question

已知函數(shù)f（x）=ax+blnx+c（a，b，c為常數(shù)且a，b，c∈Q）在x=e處的切線方程為（e-1）x+ey-e=0．
（I）求常數(shù)a，b，c的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=x²+mf（x）（m∈R）在區(qū)間（1，3）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）求函數(shù)h（x）=f（x）-1的單調(diào)遞減區(qū)間，并證明：

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…

lnn

n

＜

1

n

．

Answer 1

分析：（I）題目給出了函數(shù)在x=e處的切線方程，則知道了f′（e），再由切線過切點三個式子聯(lián)立可求常數(shù)a，b，c的值；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)g（x）=x²+mf（x）（m∈R）在區(qū)間（1，3）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，說明該函數(shù)在區(qū)間（1，3）內(nèi)一定有極值，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為g′（x）=

1

x

（2x2-mx+m），此導(dǎo)函數(shù)等于0可轉(zhuǎn)化為二次方程2x²-mx+m=0，然后分該方程有一個實數(shù)根和兩個實數(shù)根分類討論，對每一種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖象列式可求m的范圍；
（Ⅲ）把f（x）代入后求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)小于等于0求得函數(shù)h（x）的減區(qū)間為[1，+∞），根據(jù)函數(shù)在[1，+∞）上是減函數(shù)，則lnx＜x-1對一切x∈（1，+∞）都成立，兩邊同時除以x后得0＜

lnx

x

＜

1-x

x

對一切x∈（1，+∞）都成立，再利用放縮法證明不等式．

解答：解：（I）由f（x）=ax+blnx+c知，f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=a+

b

x

，
又f（x）在x=e處的切線方程為（e-1）x+ey-e=0，而切線（e-1）x+ey-e=0的斜率為-

e-1

e

，
所以有f′（e）=a+

b

e

=-

e-1

e

，即（b-1）+（a+1）e=0，由a，b，c∈Q，得a=-1，b=1，（否則e=

1-b

a+1

∈Q矛盾），又有切線方程知，f（e）=2-e，得出c=1，∴a=-1，b=1，c=1

（Ⅱ）由（1）知f（x）=-x+lnx+1（x＞0），
因此，g（x）=x²+mf（x）=x²-mx+mlnx+m （x＞0），
所以g′（x）=2x-m+

m

x

=

1

x

（2x²-mx+m） （x＞0）．
要使函數(shù)g（x）在（1，3）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)g（x）在（1，3）內(nèi)一定有極值，
而gg′（x）=

1

x

（2x²-mx+m），所以函數(shù)g（x）最多有兩個極值．
令d（x）=2x²-mx+m （x＞0）．
（�。┊�(dāng)函數(shù)g（x）在（1，3）內(nèi)有一個極值時，g′（x）=0在（1，3）內(nèi)有且僅有一個根，
即d（x）=2x²-mx+m 在（1，3）內(nèi)有且僅有一個根，
又因為d（1）=2＞0，當(dāng)d（3）=0時，即m=9時，d（x）=2x²-mx+m 在（1，3）內(nèi)有且僅有一個根x=

3

2

，
當(dāng)d（3）≠0時，應(yīng)有d（3）＜0，即2×3²-3m+m＜0，解得m＞9．所以有m≥9．
（ⅱ）當(dāng)函數(shù)g（x）在（1，3）內(nèi)有兩個極值時，g′（x）=0在（1，3）內(nèi)有兩個根，
即二次函數(shù)d（x）=2x²-mx+m 在（1，3）內(nèi)有兩個不等根，

（ⅱ）當(dāng)函數(shù)g（x）在（1，3）內(nèi)有兩個極值時，g′（x）=0在（1，3）內(nèi)有兩個根，
即二次函數(shù)d（x）=2x²-mx+m 在（1，3）內(nèi)有兩個不等根，
所以

△=(-m)2-4×2×m＞0 d(1)=2-m+m＞0 d(3)=2×32-3m+m＞0 1＜ m 4 ＜3

，
解得：8＜m＜9．

綜上，實數(shù)m的取值范圍是m≥8．

（Ⅲ）由h（x）=f（x）-1得：h（x）=-x+lnx （x＞0），所以h′（x）=

1-x

x

，
令h′（x）≤0，即

1-x

x

≤0，得：x≥1，即h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[1，+∞）．
事實上，
由函數(shù)h（x）=-x+lnx （x＞0）在[1，+∞）上單調(diào)遞減可知，
當(dāng)x∈（1，+∞）時，h（x）＜h（1），即-x+lnx＜-1，
亦即lnx＜x-1對一切x∈（1，+∞）都成立，
不等式兩邊同時除以x，
亦即0＜

lnx

x

＜

1-x

x

對一切x∈（1，+∞）都成立，
所以

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…

lnn

n

＜

1

2

×

2

3

×

3

4

ו•×

n-1

n

=

1

n

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)在某區(qū)間（a，b）內(nèi)存在極值，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，考查了函數(shù)在某點處取得極值的條件，函數(shù)在某點處取得極值，則函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)等于0，反之，函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)等于0，該點不一定是極值點，訓(xùn)練了利用放縮法證明不等式．此題具有一定難度