在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程為x-y+4=0,曲線C的參數(shù)方程為 

(Ⅰ)已知在極坐標(biāo)(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,點P的極坐標(biāo)為(4,),判斷點P與直線l的位置關(guān)系;

(Ⅱ)設(shè)點Q是曲線C上的一個動點,求它到直線l的距離的最值;

(Ⅲ)請問是否存在直線 ,∥l且與曲線C的交點A、B滿足

若存在請求出滿足題意的所有直線方程,若不存在請說明理由。

 

【答案】

(I)點P在直線上.

(II)當(dāng)時,d取得最小值,且最小值為

當(dāng)時,d取得最大值,且最大值為3

(Ⅲ)滿足題意直線m有4條,方程為: 。

【解析】

試題分析:(I)把極坐標(biāo)系下的點化為直角坐標(biāo),得P(0,4)2分

因為點P的直角坐標(biāo)(0,4)滿足直線的方程,所以點P在直線上.4分

(II)因為點Q在曲線C上,故可設(shè)點Q的坐標(biāo)為,5分

從而點Q到直線的距離為

,    6分

由此得,當(dāng)時,d取得最小值,且最小值為

當(dāng)時,d取得最大值,且最大值為3         8分

(Ⅲ)設(shè)平行線m方程:x-y+n = 0                 9分

橢圓與直線方程聯(lián)立再由弦長公式得

設(shè)O到直線m的距離為d,則        10分

 

經(jīng)驗證均滿足題意

所以滿足題意直線m有4條,方程為: 12分

考點:點的極坐標(biāo),橢圓的參數(shù)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,直線方程。

點評:中檔題,本題綜合性較強(qiáng),涉及直線與橢圓的位置關(guān)系,通過建立方程組,應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長公式等,進(jìn)一步表示出三角形面積,從而建立“變量”的方程,達(dá)到解題目的。思路比較明確。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2.F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點,點M為C1與C2在第一象限的交點,且|MF2|=
5
3

(Ⅰ)求C1的方程;
(Ⅱ)平面上的點N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
,直線l∥MN,且與C1交于A,B兩點,若
OA
OB
=0
,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點P(2cosx+1,2cos2x+2)和點Q(cosx,-1),其中x∈[0,π].若向量
OP
OQ
垂直,求x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在直角坐標(biāo)系xOy中,射線OA在第一象限,且與x軸的正半軸成定角60°,動點P在射線OA上運(yùn)動,動點Q在y軸的正半軸上運(yùn)動,△POQ的面積為2
3

(1)求線段PQ中點M的軌跡C的方程;
(2)R1,R2是曲線C上的動點,R1,R2到y(tǒng)軸的距離之和為1,設(shè)u為R1,R2到x軸的距離之積.問:是否存在最大的常數(shù)m,使u≥m恒成立?若存在,求出這個m的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0(α為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t
為參數(shù))
(I)求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程,并說明它表示什么曲線;
(II)求直線l被軌跡C截得的最大弦長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
2
2
,左右兩個焦分別為F1,F(xiàn)2.過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點,且|MN|=2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的一個頂點為B(0,-b),是否存在直線l:y=x+m,使點B關(guān)于直線l 的對稱點落在橢圓C上,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

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