Question

【題目】已知圓：，橢圓：的離心率為，圓上任意一點處的切線交橢圓于兩點，，當恰好位于軸上時，的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）為定值且定值為，詳見解析

【解析】

（1）根據題意，結合圖形特點求解出與的長，再結合橢圓的離心率特點代換出關于的橢圓標準方程，將點坐標代入橢圓方程即可求得標準方程

（2）分兩種情況進行討論，當過點的圓的切線斜率為0或不存在時，，當斜率存在時，設切線方程為，采用解析幾何方法聯(lián)立切線與橢圓標準方程，得出關于兩點橫坐標的韋達定理，再用弦長公式表示出，最終將表達式進行化簡求值即可

解：（1）由橢圓的離心率為知得，

∴橢圓的方程為.

由圓的切線性質、圓的對稱性及的面積為得：，

又，∴，

設，則，，將其代入橢圓方程得，，

∴橢圓的方程為.

（2）①當過點的圓的切線斜率為0或不存在時，，

②當過點的圓的切線斜率存在且不為0時，設切線的方程為，

，，∴，即.

聯(lián)立直線和橢圓的方程得：，即，

則，

設，則

,

由，解得，

∴

，

綜上所述，為定值且定值為.