Question

如圖，在三棱錐M-ABC中，AB=2AC=2，，AB=4AN，AB⊥AC，平面MAB⊥平面ABC，S為BC中點(diǎn)
（1）證明：CM⊥SN；
（2）求SN與平面CMN所成角的大�。�

Answer 1

解法一：（1）證明：取AB中點(diǎn)O，由題意，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)如下：C（-1，1，0）、、、
∴，
∴，∴CM⊥SN
（2）由題意知，
設(shè)平面CMN的法向量為，則，∴
平面CMN的法向量為
∴，∴SN與平面CMN所成角為
解法二：（1）取AB中點(diǎn)O，連接MO、CO、SO
∵M(jìn)A=MB，∴MO⊥AB
∵平面MAB⊥平面ABC，平面MAB∩平面ABC=AB
∴MO⊥平面ABC
∵△NOS和△AOC都是等腰直角三角形
∴CO⊥SN，∴CM⊥SN
（2）在△MNC中，，
∴
設(shè)S到平面MNC的距離為h，SN與平面CMN所成角為θ
∵V_M-NSC=V_S-NMC
∴S_△NSC•MO=S_△MNC•h
∴
∴
∴SN與平面CMN所成角為
分析：解法一：（1）向量法，取AB中點(diǎn)O，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)、向量，利用，證明CM⊥SN；
（2）求出平面CMN的法向量、，利用向量的夾角公式，即可求得SN與平面CMN所成角；
解法二：（1）取AB中點(diǎn)O，連接MO、CO、SO，利用平面MAB⊥平面ABC，證明MO⊥平面ABC，從而可證CM⊥SN；
（2）在△MNC中，利用等體積計(jì)算S到平面MNC的距離，即可求得SN與平面CMN所成角．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線線垂直，考查線面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定，掌握線面角的求法，屬于中檔題．