Question

1．下列結(jié)論中正確的是②③④．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）
①若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，則$\overrightarrow a=0$或$\overrightarrow b=0$；
②若$|\overrightarrow a•\overrightarrow b|=|\overrightarrow a|•|\overrightarrow b|$，則$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$；
③若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，則$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$；
④在△ABC中，點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow 0$，若存在實(shí)數(shù)λ使得$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=λ•\overrightarrow{AM}$成立，則λ=3．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$得出$\overrightarrow a=0$或$\overrightarrow b=0$或$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，判斷①錯(cuò)誤；
由$|\overrightarrow a•\overrightarrow b|=|\overrightarrow a|•|\overrightarrow b|$得出|cosθ|=1，判斷②正確；
由$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$得出$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$，判斷③正確；
由$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow 0$得出M為△ABC的重心，得出$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），判斷④正確．

解答 解：對(duì)于①，當(dāng)$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$時(shí)，$\overrightarrow a=0$或$\overrightarrow b=0$或$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，∴①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，當(dāng)$|\overrightarrow a•\overrightarrow b|=|\overrightarrow a|•|\overrightarrow b|$時(shí)，|cosθ|=1，∴$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，②正確；
對(duì)于③，當(dāng)$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$時(shí)，$\overrightarrow a=0$或$\overrightarrow b=0$或$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，∴$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$，③正確；
對(duì)于④，△ABC中，點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow 0$，
根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得，M為△ABC的重心；
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∴$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AM}$，λ=3，④正確．
綜上，正確的命題是②③④．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積與應(yīng)用問題，也考查了三角形重心的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．