Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³-2ax+2（a∈R）．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入函數(shù)解析式，求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在x=0處的導數(shù)，再求出f（0），代入直線方程的點斜式得答案；
（2）求出原函數(shù)的導函數(shù)，對a分類討論，得到函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求出函數(shù)的最值得答案．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=x³-2x+2，切點為（0，2），
∴f′（x）=3x²-2，則切線的斜率為k=f′（0）=-2，
切線方程為y=-2x+2，即2x+y-2=0；
（2）f′（x）=3x²-2a=3（x²-$\frac{2a}{3}$）．
當a≤0時，f′（x）≥0，∴f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，則f（x）_min=f（0）=2；
當a＞0時，$f′（x）=3（{x}^{2}-\frac{2a}{3}）=3（x+\frac{\sqrt{6a}}{3}）（x-\frac{\sqrt{6a}}{3}）$．
①若0＜$\frac{\sqrt{6a}}{3}$＜1，即0＜a＜$\frac{3}{2}$時，
當0≤x＜$\frac{\sqrt{6a}}{3}$時，f′（x）＜0，當$\frac{\sqrt{6a}}{3}$＜x≤1時，f′（x）＞0，f（x）在[0，$\frac{\sqrt{6a}}{3}$）上為減函數(shù)，在（$\frac{\sqrt{6a}}{3}$，1]上為增函數(shù)，
∴$f（x）_{min}=f（\frac{\sqrt{6a}}{3}）$=2-$\frac{4a\sqrt{6a}}{9}$；
②若$\frac{\sqrt{6a}}{3}≥1$，即a≥$\frac{3}{2}$時，f′（x）≤0，∴f（x）在[0，1]上為減函數(shù)．
∴f（x）_min=f（1）=3-2a．
綜上：$f（x）_{min}=\left\{\begin{array}{l}{2（a≤0）}\\{2-\frac{4a\sqrt{6a}}{9}（0＜a＜\frac{3}{2}）}\\{3-2a（a≥\frac{3}{2}）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題．