已知PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，PA=AD，M、N分別是AB、PC的中點，求證：

(1)MN∥平面PAD；

(2)平面PMC⊥平面PDC．

 

答案：
解析：

證明：(1)取PD的中點為Q，連結AQ、QN，

∵PN=NC，∴QNDC．

∵四邊形ABCD為矩形，∴QNAM．

∴MN∥AQ．又∵AQ平面PAD，

∴MN∥平面PAD．

(2)∵PA⊥平面ABCD，

∴∠PAD=90°．∵PA=AD，

∴△PAD為等腰直角三角形．

∵Q為PD中點，∴AQ⊥PD．

∵CD⊥AD，CD⊥PA，

∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AQ，

∴AQ⊥平面PDC．

由(1)MN∥AQ，∴MN⊥平面PDC．

又∵MN平面PMC，

∴平面PMC⊥平面PDC．

點評：抓住N是Pc的中點的特點，取PD的中點Q，從而得到輔助線AQ．利用AQ既證明了MN∥平面PAD又證明了平面PMC⊥平面PDC．

 


練習冊系列答案
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2
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