Question

（2013•茂名二模）如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點，點B，P在單位圓上，且B（-

3

5

，

4

5

），∠AOB=α，∠AOP=θ（0＜θ＜π），

OQ

=

OA

+

OP

．設(shè)四邊形OAQP的面積為S，
（1）求tan(α-

π

4

)；
（2）求

OQ

•

OA

+S的最大值及此時θ的值．

Answer 1

分析：（1）利用任意角的三角函數(shù)求出tanα，利用兩角和與差的正切函數(shù)直接求tan(α-

π

4

)即可；
（2）通過圖形展開求出求

OQ

•

OA

+S的表達(dá)式，通過角的范圍直接求出表達(dá)式的最大值及此時θ的值．

解答：解：（1）∵B（-

3

5

，

4

5

），∠AOB=α，∴tanα=-

4

3

，
∴tan（α-

π

4

）=

tanα-tan π 4

1+tanαtan π 4

=

- 4 3 -1

1- 4 3

=7．
（2）由已知得：A（1，0），P（cosθ，sinθ），
∴

OQ

=（1+cosθ，sinθ），

OA

•

OQ

=1+cosθ，S=sinθ，

OA

•

OQ

+S=1+cosθ+sinθ=

2

sin(θ+

π

4

)+1，0＜θ＜π，
∴

π

4

＜θ+

π

4

＜

5π

4

，
當(dāng)θ+

π

4

=

π

2

時，

OA

•

OQ

+S取最大值，最大值為：1+

2

．

點評：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，三角函數(shù)的定義，兩角差的正切函數(shù)的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．