Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）試探究當(dāng)時，方程解的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ）;（Ⅲ）時，方程有兩個解．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）依題意得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出斜率，再利用點斜式，即可求出曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）等價于對任意，，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)求最值即可求出結(jié)果；（Ⅲ）設(shè)，，對進(jìn)行分類討論，即可求出結(jié)果.

試題解析：【解析】
（Ⅰ）依題意得，， 1分

． 2分

所以曲線在點處的切線方程為． 3分

（Ⅱ）等價于對任意，． 4分

設(shè)，．

則

因為，所以， 5分

所以，故在單調(diào)遞增， 6分

因此當(dāng)時，函數(shù)取得最小值； 7分

所以，即實數(shù)的取值范圍是． 8分

（Ⅲ）設(shè)，．

①當(dāng)時，由（Ⅱ）知，函數(shù)在單調(diào)遞增，

故函數(shù)在至多只有一個零點，

又，而且函數(shù)在上是連續(xù)不斷的，

因此，函數(shù)在上有且只有一個零點． 10分

②當(dāng)時，恒成立．證明如下：

設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，

所以時，，所以，

又時，，所以，即．

故函數(shù)在上沒有零點． 12分

③當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在至多只有一個零點，

又，而且函數(shù)在上是連續(xù)不斷的，

因此，函數(shù)在上有且只有一個零點．

綜上所述，時，方程有兩個解． 14分

考點：1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2.不等式的恒成立．