已知橢圓過點
,且離心率
。
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓
相交于
,
兩點(
不是左右頂點),橢圓的右頂點為D,且滿足
,試判斷直線
是否過定點,若過定點,求出該定點的坐標;若不過定點,請說明理由。
(1) ;(2)
解析試題分析:(1)本小題通過待定系數(shù)法列出兩個關于的方程.通過解方程組求出橢圓方程.包含著二次方的運算需掌握.(2)本小題是直線與橢圓的位置關系的問題.這類題目的常用思路就是聯(lián)立直線方程和橢圓方程通過消元得到一個二次方程,確定判別式的情況.正確書寫利用韋達定理.
,
兩點(
不是左右頂點),橢圓的右頂點為D,且滿足
,D點不是左右定點要關注.根據(jù)向量的數(shù)量積為零.可得到關于兩個根的等式.再利用韋達定理即可得關于m,k的等式.從而就可得相應的結論.
試題解析:(Ⅰ)由題意橢圓的離心率。
∴橢圓方程為 2分
又點在橢圓上
∴橢圓的方程為 4分
(II)設,由
得
,
,
.
所以,又橢圓的右頂點
,
,
,
,解得
,且滿足
.
當時,
,直線過定點
與已知矛盾;
當時,
,直線過定點
綜上可知,直線過定點,定點坐標為
考點:1.直線與圓的位置關系.2.韋達定理3.向量積的問題.4.過定點的問題.5.直線與橢圓的綜合問題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(13分)點P為圓上一個動點,M為點P在y軸上的投影,動點Q滿足
.
(1)求動點Q的軌跡C的方程;
(2)一條直線l過點,交曲線C于A、B兩點,且A、B同在以點D(0,1)為圓心的圓上,求直線l的方程。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知拋物線的頂點在坐標原點,焦點為,點
是點
關于
軸的對稱點,過點
的直線交拋物線于
兩點。
(Ⅰ)試問在軸上是否存在不同于點
的一點
,使得
與
軸所在的直線所成的銳角相等,若存在,求出定點
的坐標,若不存在說明理由。
(Ⅱ)若的面積為
,求向量
的夾角;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知曲線上任意一點
到直線
的距離是它到點
距離的
倍;曲線
是以原點為頂點,
為焦點的拋物線.
(Ⅰ)求,
的方程;
(Ⅱ)過作兩條互相垂直的直線
,其中
與
相交于點
,
與
相交于點
,求四邊形
面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知雙曲線,
、
是雙曲線的左右頂點,
是雙曲線上除兩頂點外的一點,直線
與直線
的斜率之積是
,
求雙曲線的離心率;
若該雙曲線的焦點到漸近線的距離是,求雙曲線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知拋物線與橢圓
有公共焦點
,且橢圓過點
.
(1)求橢圓方程;
(2)點、
是橢圓的上下頂點,點
為右頂點,記過點
、
、
的圓為⊙
,過點
作⊙
的切線
,求直線
的方程;
(3)過橢圓的上頂點作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另外一點、
,試問直線
是否經(jīng)過定點,若是,求出定點坐標;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在直角坐標系中,為坐標原點,如果一個橢圓經(jīng)過點P(3,
),且以點F(2,0)為它的一個焦點.
(1)求此橢圓的標準方程;
(2)在(1)中求過點F(2,0)的弦AB的中點M的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓:
的離心率為
,以橢圓
的左頂點
為圓心作圓
:
,設圓
與橢圓
交于點
與點
.(12分)
(1)求橢圓的方程;(3分)
(2)求的最小值,并求此時圓
的方程;(4分)
(3)設點是橢圓
上異于
,
的任意一點,且直線
分別與
軸交于點
,
為坐標原點,求證:
為定值.(5分)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標系中,直線l與拋物線
相交于不同的兩點A,B.
(I)如果直線l過拋物線的焦點,求的值;
(II)如果,證明直線l必過一定點,并求出該定點坐標.
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