Question

已知向量

a

=（sinωx，cosωx），

b

=（cosωx，

3

cosωx），（ω＞0），函數(shù)f（x）=

a

•

b

-

3

2

的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）如果△ABC的三邊a、b、c所對(duì)的角分別為A，B，C，且滿足b²+c²=a²-

3

bc，求f（A）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出f（x）解析式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)已知最小正周期求出ω的值，確定出函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可確定出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosA，把已知等式變形后代入求出cosA的值，確定出A的度數(shù)，即可求出f（A）的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sinωxcosωx+

3

cos²ωx-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx=sin（2ωx+

π

3

），
∵f（x）的最小正周期為π，且ω＞0
∴

2π

2ω

=π，∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x+

π

3

），
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z，
則f（x）的增區(qū)間為[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）∵b²+c²=a²-

3

bc，∴b²+c²-a²=-

3

bc，
由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

- 3 bc

2bc

=-

3

2

，
∴在△ABC中，A=

5π

6

，
∴f（A）=sin（2×

5π

6

+

π

3

）=sin2π=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．