Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，按、、三種情況分類討論，得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)的極值；

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)，是方程的兩根，化簡(jiǎn)得，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)，

得，，

（i）若時(shí)；，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)，函數(shù)取得極小值，是的一個(gè)極小值點(diǎn)；

（ii）若時(shí)，則，即時(shí)，此時(shí)，在是減函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，則，令，解得，，

當(dāng)和時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

∴在取得極小值，在取得極大值，所以有兩個(gè)極值點(diǎn)，

綜上可知：（i）時(shí)，僅有一個(gè)極值點(diǎn)；(ii).當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；

(iii)當(dāng)，有兩個(gè)極值點(diǎn).

（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

且，是方程的兩根，∴,，

則

，

設(shè)，，則，

∴時(shí)，是減函數(shù)，，

∴，

∴.