Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，平面平面.，， 且點(diǎn)為的中點(diǎn)．

（1） 求證：平面；

（2） 求與平面所成角的正弦值；

（3） 在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析;（2）（3）不存在,理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)菱形與矩形性質(zhì),可得,,因而.所以可知四邊形為平行四邊形.由中位線定理可證明,即可由線面平行判斷定理證明平面;

（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),并求得和平面的法向量,即可求得與夾角的余弦值,即為與平面所成角的正弦值;

（3）假設(shè)線段上存在點(diǎn),使二面角的大小為.設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),并求得平面和平面的法向量,根據(jù)夾角為及向量數(shù)量積運(yùn)算,求得的值,再判斷是否符合在線段上,即可說(shuō)明.

（1）證明:因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形,是矩形,

所以,

所以

所以四邊形為平行四邊形

設(shè)對(duì)角線的交點(diǎn)為,連接

由點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn)

根據(jù)中位線定理可得,

又因?yàn)?/span>平面,平面,

所以平面.

（2）因?yàn)?/span>是矩形,且平面平面.

所以平面.

又因?yàn)?/span>

所以

則以為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

因?yàn)?/span>且點(diǎn)為的中點(diǎn)

則

則,

設(shè)平面的法向量為

則,代入可得

令,解得

所以

設(shè)直線與平面所成角為

則

即直線與平面所成角的正弦值為

（3）假設(shè)線段上存在點(diǎn),使二面角的大小為.設(shè)

則

設(shè)平面的法向量為

則,代入可得

令,則

又因?yàn)槠矫?/span>的法向量為

所以由二面角的大小為

可得

解得

因?yàn)?/span>,所以不合題意

所以線段上不存在點(diǎn),使二面角的大小為