Question

8．若f（x）是定義在R上的函數(shù)，對任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x+2）≥f（x）+2，f（x+6）≤f（x）+6，且f（1）=1，則f（2015）=2015．

Answer 1

分析 根據(jù)不等式的關(guān)系求出f（x+6）≥f（x）+6，從而得到f（x+6）=f（x）+6，即當(dāng)且僅當(dāng)f（x+2）=f（x）+2，然后利用累加法進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x+2）≥f（x）+2，
∴f（x+6）≥f（x+4）+2≥f（x+2）+2+2≥f（x）+2+2+2=f（x）+6，
即f（x+6）≥f（x）+6，（等號(hào)同時(shí)成立時(shí)取等號(hào)）
∵f（x+6）≤f（x）+6，
∴f（x+6）=f（x）+6，當(dāng)且僅當(dāng)f（x+2）=f（x）+2，
即f（x+2）-f（x）=2，
∴f（3）-f（1）=2，
f（5）-f（3）=2，
f（7）-f（5）=2，
…
f（2015）-f（2013）=2，
共有1007個(gè)式子，
等式兩邊同時(shí)相加得：
f（2015）-f（1）=2×1007=2014，
則f（2015）=f（1）+2014=1+2014=2015，
故答案為：2015

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查賦值法求抽象函數(shù)值，以及兩邊夾法則求值和關(guān)系式，簡單的歸納推理，將x替換為x+2，x+4的轉(zhuǎn)換思想，從而得到f（x+6）=f（x）+6，這是解決抽象函數(shù)的常用方法，應(yīng)掌握．