設(shè)函數(shù)f（x）=x3-3x2+ax（a∈R）．
（1）當(dāng)a=-9時(shí)，求函數(shù)f（x）的極大值；
（2）當(dāng)a＜3時(shí)，試求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)φ（x）=-xlnx的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用
分析：（1）當(dāng)a=-9時(shí)，由f'（x）=3x2-6x-9=3（x-3）（x+1）=0，得x=3或x=-1，列表討論能求出函數(shù)f（x）的極大值．
（2）利用導(dǎo)數(shù)大于0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）由f（x）=-xlnx，得a=-x2+3x-lnx，構(gòu)造函數(shù)h（x）=-x2+3x-lnx，則h′(x)=-2x+3-
1
x
=
-2(x-1)(2x-1)
x
，列表討論，能求出a的取值范圍．
解答： 解：（1）當(dāng)a=-9時(shí)，由f'（x）=3x2-6x-9=3（x-3）（x+1）=0，得x=3，x=-1，（2分）
列表如下：
x（-∞，-1）-1（-1，3）3（3，+∞）
f'（x）+0-0+
f（x）遞增極大遞減極小遞增
所以當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值為5．…（4分）
（2）因?yàn)閒'（x）=3x2-6x+a，當(dāng)a＜3時(shí)，方程f'（x）=0有相異兩實(shí)根為1±
1-
a
3
，
令f'（x）＞0，得x＞1+
1-
a
3
或x＜1-
1-
a
3
，…（7分）
所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為(-∞，1-
1-
a
3
)，(1+
1-
a
3
，+∞)．…（10分）
（3）由f（x）=-xlnx，得x3-3x2+ax=-xlnx，即a=-x2+3x-lnx，…（12分）
令h（x）=-x2+3x-lnx，則h′(x)=-2x+3-
1
x
=
-2(x-1)(2x-1)
x
，
列表，得
x(0，
1
2
)
1
2
(
1
2
，1)		1（1，+∞）
f'（x）-0+0-
f（x）遞減極小值
5
4
+ln2		遞增極大值2遞減
…（14分）
由題意知，方程a=h（x）有三個(gè)不同的根，故a的取值范圍是(
5
4
+ln2，2)．…（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（2-a）lnx-1，g（x）=lnx+ax2+x（a∈R），令φ（x）=f（x）+g′（x）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求φ（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a≤-2時(shí)，求φ（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若b=
3
，則a+c的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ax
x2+a
（a≠0）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的極值；
（2）若存在x0∈（0，1），使f′（x0）-[f（x0）]2=0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-alnx．
（1）若a=2e，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若f（x）在（0，e）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）f（x）在x=1處有極值，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）在區(qū)間（0，e]的最小值是3，求出a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
x+1
．
（Ⅰ）設(shè)g（x）=f（x）•1nx，判斷函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是否存在極大值，并說明理由．
（Ⅱ）如圖，曲線y=f（x）在點(diǎn)Q（0，1）處的切線與x軸交于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作x軸的垂線交曲線于點(diǎn)Q1；曲線在點(diǎn)Q1處的切線與x軸交于點(diǎn)P2，過點(diǎn)P2作x軸的垂線交曲線于點(diǎn)Q2；依次重復(fù)上述過程得到點(diǎn)列：P1，P2，P3，…，Pn（n∈N*），設(shè)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為（an，0），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并證明：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
≥
3
2
-
1
2n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
8
x2+lnx+2，g（x）=x．
（Ⅰ）求函數(shù)F（x）=f（x）-2•g（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=f（x）-2•g（x）在[et，+∞）（t∈Z）上有零點(diǎn)，求t的最大值；
（Ⅲ）若bn=g(n)
1
g(n+1)
（n∈N*），試問數(shù)列{bn}中是否存在bn=bm（m≠n）？若存在，求出所有相等的兩項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)約為2.718）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若B=
π
4
，0＜A＜
π
2
，且a2，b2，c2成等差數(shù)列，則tanA=
 
．

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