Question

已知橢圓C經(jīng)過點（

2

，

2

2

），且與雙曲線x²-

y2

2

=1共焦點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于M、N兩點，交y軸于P點，且記

PM

=λ₁

PM

，

PN

=λ₂

NF

，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件設(shè)橢圓方程為

x2

3+b2

+

y2

b2

=1，把點（

2

，

2

2

）代入，能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）當l的斜率不為0時，設(shè)MN：x=my+

3

，聯(lián)立

x=my+ 3 x2+4y2=4

，得(m2+4)y2+2

3

my-1=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由此利用韋達定理能求出λ1+λ2=

y1+ 3 m

-y1

+

y2+ 3 m

-y2

=-8．當直線l的斜率為0時，λ₁+λ₂=-8也成立．由此能證明λ₁+λ₂為定值．

解答： （Ⅰ）解：∵雙曲線x²-

y2

2

=1的焦點坐標為（±

3

，0），
橢圓C經(jīng)過點（

2

，

2

2

），且與雙曲線x²-

y2

2

=1共焦點，
∴設(shè)橢圓方程為

x2

3+b2

+

y2

b2

=1，
把點（

2

，

2

2

）代入，得

2

3+b2

+

1 2

b2

=1，
解得b²=1，a²=4，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）證明：當l的斜率不為0時，設(shè)MN：x=my+

3

，
聯(lián)立

x=my+ 3 x2+4y2=4

，得(m2+4)y2+2

3

my-1=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y1+y2=

-2 3 m

m2+4

，y₁y₂=

-1

m2+4

，
∴λ1+λ2=

y1+ 3 m

-y1

+

y2+ 3 m

-y2

=-2-

3

m

•（

1

y1

+

1

y2

）
=-2-

3

m

•

y1+y2

y1y2

=-8．
當直線l的斜率為0時，M（2，0），N（-2，0），P（0，0），
|PM|=2，|MF|=2-

3

，|PN|=2，|NF|=2+

3

，
∴λ₁+λ₂=-8．
綜上，λ₁+λ₂=-8．
∴λ₁+λ₂為定值-8．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩數(shù)和為定值的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．