Question

定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=Ax+B（A，B為常數(shù)），使得f（x）≥g（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，那么稱(chēng)g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)．
下列說(shuō)法正確的有：

 

．（寫(xiě)出所有正確說(shuō)法的序號(hào)）
①對(duì)給定的函數(shù)f（x），其承托函數(shù)可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)；
②g（x）=ex為函數(shù)f（x）=e^x的一個(gè)承托函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=

x

x2+x+1

不存在承托函數(shù)；
④函數(shù)f（x）=-

1

5x2-4x+11

，若函數(shù)g（x）的圖象恰為f（x）在點(diǎn)P（1，-

1

12

）處的切線，則g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①如f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1）就是它的一個(gè)承托函數(shù)，且有無(wú)數(shù)個(gè)，再如y=tanx．y=lgx就沒(méi)有承托函數(shù)；
②令h（x）=e^x-ex，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可判斷出；
③函數(shù)f（x）=

x

x2+x+1

，當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0；當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）=

1

x+ 1 x +1

≤

1

2 x• 1 x +1

=

1

3

；同理當(dāng)x＜0時(shí)，0＞f（x）≥-1．可得：f（x）∈[-1，

1

3

]，即可判斷出；
④f′（x）=

10x-4

(5x2-4x+11)2

，f′（1）=

1

24

，可得g（x）=

1

24

x-

1

8

．取x=2時(shí)，f（10）＜0＜g（10），即可判斷出．

解答： 解：①如f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1）就是它的一個(gè)承托函數(shù)，且有無(wú)數(shù)個(gè)，再如y=tanx．y=lgx就沒(méi)有承托函數(shù)，∴命題①正確；
②令h（x）=e^x-ex，則h′（x）=e^x-e，令h′（x）＞0，解得x＞1，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；令h′（x）＜0，解得x＜1，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值即最小值，∴h（x）≥h（1）=0，因此f（x）≥g（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，故g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)，正確．
③函數(shù)f（x）=

x

x2+x+1

，當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0；當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）=

1

x+ 1 x +1

≤

1

2 x• 1 x +1

=

1

3

；當(dāng)x＜0時(shí)，0＞f（x）=

1

-(-x+ 1 -x )+1

≥-1．
綜上可得：f（x）∈[-1，

1

3

]，取g（x）=-2，即為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)，因此不正確；
④f′（x）=

10x-4

(5x2-4x+11)2

，f′（1）=

1

24

，則g（x）+

1

12

=

1

24

(x-1)，化為g（x）=

1

24

x-

1

8

．取x=2時(shí)，f（10）＜0＜g（10），因此g（x）不為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)．
綜上可得：只有①②正確．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、新定義“承托函數(shù)”，考查了分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．