Question

(本小題滿分14分）
已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為3.

(1)求橢圓C的方程；
(2)過橢圓C上的動點P引圓O：的兩條切線PA、PB，A、B分別為切點，試探究橢圓C上是否存在點P，由點P向圓O所引的兩條切線互相垂直？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1）設橢圓的半焦距為，依題意……3分
，……4分
所求橢圓方程為．……5分
（2）如圖，設P點坐標為,……6分
若，則有.……7分
即……8分
有
兩邊平方得……①……9分
又因為在橢圓上,所以……②……10分
①,②聯立解得……11分
所以滿足條件的有以下四組解
，，，……13分
所以,橢圓C上存在四個點，，，，分別由這四個點向圓O所引的兩條切線均互相垂直. ……14分

略